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写给了解一些量子力学基本概念的人,理清一些概念。

单粒子与测量

  • 考虑一个量子态所处的希尔伯特空间,它存在完备正交的基矢集合$\{\ket{i}\}, i=0,1,2\ldots$
  • 对任何一个量子态$\ket{\psi}$,我们可以做分解$\ket{\psi}=\sum c_i\ket{i}, c_i\in \mathbb{C}$
  • 我们可以称$\ket{\psi}$是基矢$\{\ket{i}\}$的叠加态
  • 单粒子测量
    • 可观测量的算符,可以在基矢$\{\ket{i}\}$下把它写成一个矩阵$\Omega$
    • 矩阵$\Omega$,可以得到特征值$\omega_i$以及特征向量$\ket{\omega_i}$
    • 测量到,可观测量处于$\omega_i$值的概率是$|\braket{\psi|\omega_i}|^2$
    • 可观测量的期望值是$\braket{\psi|\Omega|\psi}=\sum |\braket{\psi|\omega_i}|^2 \omega_i$

二体系统

  • 我们考虑两个量子系统$L$和$R$,他们的希尔伯特空间大小分别是$m$和$n$
    • 可以把$L$当作感兴趣的系统,而把$R$当作以外的环境,就可以推广到任意多粒子。例如,给定五个粒子,可以规定第1,2个属于$L$,剩下的都属于$R$
    • $L$系统有基矢$\{{\ket{0}_L, \ket{1}_L,\ldots\ket{m-1}_L}\}$
    • $R$系统有基矢$\{{\ket{0}_R, \ket{1}_R,\ldots\ket{n-1}_R}\}$
  • 假设$L$系统处于$\ket{i}$状态,并且$R$系统处于$\ket{j}$状态,那么二体量子态是简单的$\ket{i}\otimes\ket{j}$
  • 二体系统的正交完备基矢,可以选取为$\{{\ket{i}\otimes\ket{j}}\}, 0\leq i<m, 0\leq j<n$
  • 二体系统的任意态$\ket{\Psi}$都可以用这组基展开为$$\ket{\Psi}=\sum_{ij} m_{ij}\ket{i}_L\otimes\ket{j}_R$$
    • $\ket{\Psi}$可以映射到一个$m\times n$的矩阵$$M=\begin{bmatrix}m_{00} & m_{01}&\ldots\\ m_{10}&m_{11}&\ldots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}$$
  • 积态$\ket{\psi}_L\otimes\ket{\phi}_R$,指左系统处于$\ket{\psi}=\sum l_i\ket{i}$态,而且右系统处于$\ket{\phi}=\sum r_i\ket{j}$态
    • 积态$\ket{\psi}_L\otimes\ket{\phi}_R$对应的矩阵是$$M=\begin{bmatrix}l_0\\l_1\\\vdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_0 & r_1 & \ldots\end{bmatrix}$$
    • 对积态的矩阵做SVD(奇异值分解),那么它只有一个模为1的奇异值
  • 纠缠态:不可以分解为积态的叫做纠缠态

二体系统的测量

  • 测量 $L$系统的可观测量$\Omega$,在两体系统中变成了$\Omega\otimes I$。它的期望值是$\langle\Omega\rangle=\braket{\Psi|\Omega\otimes I|\Psi}=\sum m_{ij}m_{jk}^*\braket{k|\Omega|i}$
  • 密度矩阵 定义左系统的密度矩阵$\rho_L=\sum m_{ij}m_{jk}^*\ket{i}\bra{k}$,那么上述$\langle\Omega\rangle=\tr [\rho_L \Omega]$
    • 假设系数矩阵的奇异值分解是$M=U\Lambda V^\dagger$,那么$\rho_L=MM^\dagger=U\Lambda^2U^\dagger$正是$\rho_L$的特征值分解。
    • 设$\Lambda=\mathrm{diag}[\lambda_0, \lambda_1,\ldots \lambda_k]$,则$\rho_L$的非零特征值$p_i=\lambda_i^2$
  • 纯态与混态
    • 密度矩阵特征分解后,可以得到$\rho=\sum p_i\ket{\phi_i}\bra{\phi_i}$,其中$\ket{\phi_i}$对应于$U$矩阵的第$i$列向量
    • 纯态:如果某系统的密度矩阵非零特征值的数量为1,即$\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$,则该系统处于纯态$\ket{\psi}$,与环境不存在纠缠。
    • 混态:非纯态则为混态
  • 纠缠熵 $S=-\tr[\rho_L\ln \rho_L]=-\tr[\rho_R\ln \rho_R] =-\sum p_i\ln p_i$

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