写给了解一些量子力学基本概念的人，理清一些概念。
# 单粒子与测量
- 考虑一个量子态所处的希尔伯特空间，它存在完备正交的基矢集合$\{\ket{i}\}, i=0,1,2\ldots$
- 对任何一个量子态$\ket{\psi}$，我们可以做分解$\ket{\psi}=\sum c_i\ket{i}, c_i\in \mathbb{C}$
- 我们可以称$\ket{\psi}$是基矢$\{\ket{i}\}$的叠加态
- 单粒子测量
- 可观测量的算符，可以在基矢$\{\ket{i}\}$下把它写成一个矩阵$\Omega$
- 矩阵$\Omega$，可以得到特征值$\omega_i$以及特征向量$\ket{\omega_i}$
- 测量到，可观测量处于$\omega_i$值的概率是$|\braket{\psi|\omega_i}|^2$
- 可观测量的期望值是$\braket{\psi|\Omega|\psi}=\sum |\braket{\psi|\omega_i}|^2 \omega_i$
# 二体系统
- 我们考虑两个量子系统$L$和$R$，他们的希尔伯特空间大小分别是$m$和$n$
- 可以把$L$当作感兴趣的系统，而把$R$当作以外的环境，就可以推广到任意多粒子。例如，给定五个粒子，可以规定第1，2个属于$L$，剩下的都属于$R$
- $L$系统有基矢$\{{\ket{0}_L, \ket{1}_L,\ldots\ket{m-1}_L}\}$
- $R$系统有基矢$\{{\ket{0}_R, \ket{1}_R,\ldots\ket{n-1}_R}\}$
- 假设$L$系统处于$\ket{i}$状态，并且$R$系统处于$\ket{j}$状态，那么二体量子态是简单的$\ket{i}\otimes\ket{j}$
- 二体系统的正交完备基矢，可以选取为$\{{\ket{i}\otimes\ket{j}}\}， 0\leq i<m, 0\leq j<n$
- 二体系统的任意态$\ket{\Psi}$都可以用这组基展开为$$\ket{\Psi}=\sum_{ij} m_{ij}\ket{i}_L\otimes\ket{j}_R$$
- $\ket{\Psi}$可以映射到一个$m\times n$的矩阵$$M=\begin{bmatrix}m_{00} & m_{01}&\ldots\\ m_{10}&m_{11}&\ldots\\\vdots&\vdots&\ddots\end{bmatrix}$$
- 积态$\ket{\psi}_L\otimes\ket{\phi}_R$，指左系统处于$\ket{\psi}=\sum l_i\ket{i}$态，而且右系统处于$\ket{\phi}=\sum r_i\ket{j}$态
- 积态$\ket{\psi}_L\otimes\ket{\phi}_R$对应的矩阵是$$M=\begin{bmatrix}l_0\\l_1\\\vdots\end{bmatrix}\begin{bmatrix}r_0 & r_1 & \ldots\end{bmatrix}$$
- 对积态的矩阵做SVD(奇异值分解)，那么它只有一个模为1的奇异值
- 纠缠态：不可以分解为积态的叫做纠缠态
# 二体系统的测量
- 测量 $L$系统的可观测量$\Omega$，在两体系统中变成了$\Omega\otimes I$。它的期望值是$\langle\Omega\rangle=\braket{\Psi|\Omega\otimes I|\Psi}=\sum m_{ij}m_{jk}^*\braket{k|\Omega|i}$
- 密度矩阵 定义左系统的密度矩阵$\rho_L=\sum m_{ij}m_{jk}^*\ket{i}\bra{k}$，那么上述$\langle\Omega\rangle=\tr [\rho_L \Omega]$
- 假设系数矩阵的奇异值分解是$M=U\Lambda V^\dagger$，那么$\rho_L=MM^\dagger=U\Lambda^2U^\dagger$正是$\rho_L$的特征值分解。
- 设$\Lambda=\mathrm{diag}[\lambda_0, \lambda_1,\ldots \lambda_k]$，则$\rho_L$的非零特征值$p_i=\lambda_i^2$
- 纯态与混态
- 密度矩阵特征分解后，可以得到$\rho=\sum p_i\ket{\phi_i}\bra{\phi_i}$，其中$\ket{\phi_i}$对应于$U$矩阵的第$i$列向量
- 纯态：如果某系统的密度矩阵非零特征值的数量为1，即$\rho=\ket{\psi}\bra{\psi}$，则该系统处于纯态$\ket{\psi}$，与环境不存在纠缠。
- 混态：非纯态则为混态
- 纠缠熵 $S=-\tr[\rho_L\ln \rho_L]=-\tr[\rho_R\ln \rho_R] =-\sum p_i\ln p_i$
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