分钱问题

设总钱数为\(M\),总人数为\(N\),第\(i\)个人的钱数为\(m_i\)

我们需要随机抽满足以下约束的格点\((m_1,\ldots, m_N)\):

$$\sum_{i=1}^N m_i = M, m_i\ge 0$$

\(m_i\)为第\(i\)个人的钱数, + 求第\(i\)个人的钱数\(m_i\)取值的概率分布 + 求对某固定钱数\(m\),抽到这个钱数的人的数量\(n_m=\sum (m_i = m)\)

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Processing the capillary force video

Frames Export

Get frame rate information

videoname=T-L\ _\ 1-50\ tip-tip.avi
ffmpeg -i $videoname 2>&1 |grep -o '[0-9]\+ fps'

The output is 30 fps

ffmpeg -i $videoname -r 30 output_%04d.png
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Covariant Linear Fit

Aim

Minimize

$$\sum_i \mathrm{distance}^2(\vec r_i, \mathrm{line})=\sum_i (\vec r_i\cdot \hat n-\rho)^2$$

for line \(\vec r\cdot \hat n-\rho=0\). It is equivalent to + The principle axis with least moment of inertia + The eigenvector with largest eigenval for the covariance matrix

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又双叒叕——汉字的堆叠

你可能会有这样的问题:类似“又双叒叕”这样子的汉字有多少?本文就是对此问题的分析。

数据来源

原始数据来源于参考维基百科条目二叠字三叠字四叠字

格式化后的的数据,参见源文件

本页面含有Unihan新版用字。有关字符可能会错误显示,详见Unicode扩展汉字。

数据分析

使用pandas进行数据表连接查询,可以找到同时具有多种叠字的字。

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Reduced density matrix and partial trace

Reduced density matrix

Suppose we have two quantum systems \(a, b\), with dimension \(N_a, N_b\) respectively. Then the Hilbert space of \(a+b\) is of dimension \(N=N_aN_b\). Suppose we have a density matrix

$$\hat\rho=\sum_{i,j}\rho_{ij}\lvert i\rangle \langle j\rvert=\sum_{i,j,k,l}\rho_{ijkl}\lvert i\rangle_a\lvert j\rangle_b \langle k\rvert_a\langle l\rvert_b$$

Then the reduced density matrix of \(a\) is defined as

$$\hat\rho_a=\mathrm{tr}_b\hat\rho=\sum_i \langle i\rvert_b\hat\rho\lvert i\rangle_b$$

i.e. reduced density matrix problem is equivalent to partial trace problem.

Tensor

In fact, if we take \(\hat\rho\) as a 4-tensor \(\rho_{ijkl}\), then the reduced density matrix is

$$\rho^{(a)}_{ij}=\delta^{\mu\nu}\rho_{i\mu k\nu}$$

For simple density matrix \(\rho=\lvert \psi\rangle \langle \psi\rvert\), the reduced matrix is

$$\rho^{(a)}_{ik}=\delta^{jl}\rho_{ijkl}=\delta^{jl}\psi_{ij}\psi^+_{lk}=\sum_i |\langle i_b\lvert \psi\rangle|^2=[\psi\psi^+]_{ik}$$

Here we are taking \(\psi\) as an \(N_a\times N_b\) matrix.

For general case, if we find decomposition

$$\rho=\sum_c \lambda_c\lvert \psi_c\rangle \langle \psi_c\rvert,\quad \sum_c \lambda_c=1$$

then we have

$$\rho^{(a)}_{ik}=\left[\sum_c\lambda_c\psi_c\psi^+_c\right]_{ik}$$
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对换钱悖论的贝叶斯分析

问题的提出

现在邀请你和一位路人甲来做一个游戏:我拿出两个信封分别递给你们,并告诉你 们一个装着的钱是另一个的两倍(但不知道哪个多哪个少)。你们有一次互相交换 的机会,想交换吗?然后打开信封,看一下自己拿到的钱数(但不要让对方知道),现在还想交换吗?

——引自0x01.me

这段话似乎可以引出一个悖论:

换钱后,有一半的概率钱变成原来的两倍,一半概率钱减少到原来的一半,因此期望收益是大于零的。然而另一方面,两份钱显然是对称的,因此不可能总是由换钱带来收益。

下面我们用贝叶斯来分析这个悖论。

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