大概等于Hough变换。

# Sub Quadratic Loss Function

$$L_k(x)=\frac{x^2}{1+|x|^{2-k}}, \quad 0\leq k\leq 2$$$$\lim_{x\to0} L_k(x)=x^2,\quad \lim_{x\to\infty} L_k(x)=x^k$$

At $|x|^{2-k}\ll 1$, it is $x^2$. That is $|x|<e^{-C/(2-k)}$, where $C\sim3$. In linear regression, we often use loss function $L_2(x)=x^2/2$ which leads to linear fitting.

# Gain Function

For $k=0$, we can define Gain function $$G(x)=1-L_0(x)=\frac{1}{1+x^2}$$

Consider scaling factor $l$, $$G_l(x)=\frac{1}{1+(x/l)^2}$$

For some parameter $\lambda$, calculate the gain $\Gamma(\lambda)=\sum_i G_l(x_i)$. The optimized gain means best estimation.

设总钱数为$M$，总人数为$N$，第$i$个人的钱数为$m_i$。

我们需要随机抽满足以下约束的格点$(m_1,\ldots, m_N)$: $$\sum_{i=1}^N m_i = M, m_i\ge 0$$

$m_i$为第$i$个人的钱数，

• 求第$i$个人的钱数$m_i$取值的概率分布
• 求对某固定钱数$m$，抽到这个钱数的人的数量$n_m=\sum (m_i = m)$

你可能会有这样的问题：类似“又双叒叕”这样子的汉字有多少？本文就是对此问题的分析。

# 数据来源

原始数据来源于参考维基百科条目二叠字、三叠字、四叠字。

格式化后的的数据，参见源文件。

本页面含有Unihan新版用字。有关字符可能会错误显示，详见Unicode扩展汉字。

# 数据分析

使用pandas进行数据表连接查询，可以找到同时具有多种叠字的字。

# 问题的提出

现在邀请你和一位路人甲来做一个游戏：我拿出两个信封分别递给你们，并告诉你 们一个装着的钱是另一个的两倍（但不知道哪个多哪个少）。你们有一次互相交换 的机会，想交换吗？然后打开信封，看一下自己拿到的钱数（但不要让对方知道），现在还想交换吗？

——引自0x01.me

这段话似乎可以引出一个悖论：

换钱后，有一半的概率钱变成原来的两倍，一半概率钱减少到原来的一半，因此期望收益是大于零的。然而另一方面，两份钱显然是对称的，因此不可能总是由换钱带来收益。

下面我们用贝叶斯来分析这个悖论。

# 贝叶斯分析

假设发钱时，钱少的那个钱数取$y$的先验分布为$\rho(y)$。设某人抽到了钱数是$x$，则此时$y$的取值可以是$x$或者$x/2$。

参数$y$下$x$的分布是 $$p(x|y)=\frac{\delta(x-2y)+\delta(x-y)}{2}$$

因此$x$本身的发生概率：

\begin{align} p(x)&=\int p(x|y)\rho(y)dy\\ &=\frac{1}{2}\int [\delta(x-2y)+\delta(x-y)]\rho(y)dy\\ &=\frac{\rho(x)}{2}+\frac{\rho(x/2)}{4} \end{align}