2. Physics
  3. 二维胶粒的耗尽力

二维胶粒的耗尽力

# 基本数据结构

  • 曲线由分段圆弧组成
  • 直线可以看作是一种特殊的半径为无穷大的圆弧

# 优良性质

引理 分段圆弧扩展之后的曲线依然是分段圆弧

  • 直线扩展后还是直线
  • 半径为$R$的圆扩展$d$后是半径为$R+d$的圆
  • 转接点扩展$d$后产生的新的曲线是圆$d$
  • 综上，无论怎么扩展，扩展前后曲线类型不变
In [2]:
from deplete.colloids import *
L, C = Line([0,2], [3,5]), Circle(3, [0,0], [0, pi/2])
subplot(121)
L.draw()
L.extend(0.1).draw()
axis('square');
subplot(122)
C.draw()
C.extend(0.1).draw()
axis('square');

# 扩展曲线

# Naive的扩展方式

  • 设定好定向，对应图像轮廓由一系列矢量弧段$a_1, a_2,\ldots a_n$组成
  • 普通段普通扩展$a_i\rightarrow a_i'$
    • 区分角度增加/减少的区别
      • 角度增加的时候半径为正$r=|r|$
      • 角度减少的时候半径为负$r=-|r|$
    • 做变换$r\rightarrow r'=r+d$
In [3]:
c=triangloid(1, 1, 0.2, -0.4)
c.draw(label='colloid')
title('Naive idea')
for seg in c:
    seg.extend(0.1).draw()
axis('equal');

# 处理转折点

  • 如果顺拐，即$a_i\times a_{i+1}>0$，转折段扩展出圆弧
  • 如果逆拐，即$a_i\times a_{i+1}<0$，转折段可以扩展出圆弧，但是直线更适合处理，因为终究需要剪除
In [4]:
c.draw(label='colloid')
title('Considering Turning points')
c.offset_raw(0.1).draw_each()
axis('equal');

# 终极扩展方式

  • 问题：我们现在的曲线，已经包含了扩展后的边界，但是有部分面积被环绕了多次
  • 解决方法：剪除重复的正面积，保留真正的边界
  • 简化方法：即最大的正边界
  • BUG: 某些凹陷严重情形下扩展会有bug，蚀刻时也会有bug
In [10]:
off=linspace(0, 0.4, 5)
for o in off:
    c.offset(o).draw(label='Offset {:.1f}'.format(o))
legend(loc="upper right")
axis('equal');

# 曲线相交

Depletion把两个当成一个整体

In [11]:
import pandas as pd
area=[c.offset(o).area() for o in off]
peri=[c.offset(o).perimeter() for o in off]
pd.DataFrame({"Offset": off, "Area": area, "Perimeter": peri})
Out[11]:
Area Offset Perimeter
0 2.423661 0.0 7.423733
1 3.170664 0.1 7.516340
2 3.926929 0.2 7.608948
3 4.699730 0.3 7.938916
4 5.521669 0.4 8.510362

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