对换钱悖论的贝叶斯分析
# 贝叶斯分析
假设发钱时，钱少的那个钱数取$y$的先验分布为$\rho(y)$。设某人抽到了钱数是$x$，则此时$y$的取值可以是$x$或者$x/2$。
参数$y$下$x$的分布是 $$p(x|y)=\frac{\delta(x-2y)+\delta(x-y)}{2}$$
因此$x$本身的发生概率：
\begin{align} p(x)&=\int p(x|y)\rho(y)dy\\ &=\frac{1}{2}\int [\delta(x-2y)+\delta(x-y)]\rho(y)dy\\ &=\frac{\rho(x)}{2}+\frac{\rho(x/2)}{4} \end{align}