分钱问题

Posted on Wed 09 August 2017 in ProbStat

设总钱数为$M$,总人数为$N$,第$i$个人的钱数为$m_i$。

我们需要随机抽满足以下约束的格点$(m_1,\ldots, m_N)$: $$\sum_{i=1}^N m_i = M, m_i\ge 0$$

$m_i$为第$i$个人的钱数,

  • 求第$i$个人的钱数$m_i$取值的概率分布
  • 求对某固定钱数$m$,抽到这个钱数的人的数量$n_m=\sum (m_i = m)$

每个人的钱数分布

首先,定义归一化钱数$x_i=m_i/M$。如果我们取极限近似,假设钱数足够大即$M\gg n$,那么$x_i$在$(0,1)$区间上的取值是准连续的。假设$M=10000,n=100$,那么这个要求显然是能够满足的。

考虑用隔板法生成$x_i$:在$[0,1]$区间随机均匀撒$n-1$个点$\xi_i$将区间分成$n$份,每一份的长度从左到右依次是各个玩家的归一化钱数$x_i$。

由于所有玩家是互相等价的,我们只需要分析一号玩家的钱数分布。一号玩家的归一化钱数$x$等于最小的分隔点的值$\min_i[\xi_i]$。它的累积分布函数为:

$$F(x_0)=P(x< x_0) =1-(1-x_0)^{n-1}$$

求导得概率密度

$$f(x)=(n-1)(1-x)^{n-2}$$

通过变量代换$m=Mx$,我们得出$m$的概率密度是$g(m)=f(Mx)/M$,因此$g(0)\approx (n-1)/M$。估算$m=0$的占有数大概是$n(n-1)/M$。

以上分析思路,即使不做准连续近似依然适用:先计算累积分布函数 $P(x < m/M)$,再通过差分计算单点的概率

$$P\left(x=\frac{m}{M}\right)=P\left(x<\frac{m+1}{M}\right)-P\left(x<\frac{m}{M}\right)$$

某人钱数小于平均钱数的概率:

\begin{align} P(x< 1/n) &=F(1/n)\\ &=1-(1-1/n)^{n-1}\\ &\approx 1-1/\mathrm{e}\\ &=0.6321205588285577 \end{align}

进一步分析

设$k=nx\sim 1$, 则$f(k)=\dfrac{n-1}{n}(1-k/n)^{n-2}\approx \mathrm{e}^{-k}$近似为指数分布

某个钱数的占有数分布???

由于各个钱数彼此不独立,所以不好直接计算。