对换钱悖论的贝叶斯分析

Posted on Tue 04 April 2017 in Statistics

问题的提出

现在邀请你和一位路人甲来做一个游戏:我拿出两个信封分别递给你们,并告诉你 们一个装着的钱是另一个的两倍(但不知道哪个多哪个少)。你们有一次互相交换 的机会,想交换吗?然后打开信封,看一下自己拿到的钱数(但不要让对方知道),现在还想交换吗?

——引自0x01.me

这段话似乎可以引出一个悖论:

换钱后,有一半的概率钱变成原来的两倍,一半概率钱减少到原来的一半,因此期望收益是大于零的。然而另一方面,两份钱显然是对称的,因此不可能总是由换钱带来收益。

下面我们用贝叶斯来分析这个悖论。

贝叶斯分析

假设发钱时,钱少的那个钱数取$y$的先验分布为$\rho(y)$。设某人抽到了钱数是$x$,则此时$y$的取值可以是$x$或者$x/2$。

参数$y$下$x$的分布是 $$p(x|y)=\frac{\delta(x-2y)+\delta(x-y)}{2}$$

因此$x$本身的发生概率:

\begin{align} p(x)&=\int p(x|y)\rho(y)dy\\ &=\frac{1}{2}\int [\delta(x-2y)+\delta(x-y)]\rho(y)dy\\ &=\frac{\rho(x)}{2}+\frac{\rho(x/2)}{4} \end{align}

已知$x$的信息的情况下,后验分布是:

\begin{align} p(y|x)&=\frac{p(x|y)\rho(y)}{p(x)}\\ &=\frac{\delta(x-2y)+\delta(x-y)}{2p(x)}\rho(y)\\ &=\frac{\rho(y)\delta(y-x/2)/2+\rho(y)\delta(x-y)}{2p(x)}\\ &=\frac{\rho(x/2)}{4p(x)}\delta(y-x/2)+\frac{\rho(x)}{2p(x)}\delta(y-x) \end{align}

因此离散的后验概率是

\begin{align} p(y=x|x)&=\frac{\rho(x)}{2p(x)}\\ p(y=x/2|x)&=\frac{\rho(x/2)}{4p(x)} \end{align}

换钱后钱增量$\Delta x$,

\begin{align} \mathrm{E}[\Delta x]&=xp(y=x|x)-\frac{x}{2}p(y=x/2|x)\\ &=\frac{x\rho(x)}{2p(x)}-\frac{x\rho(x/2)}{8p(x)} \end{align}

无脑交换的收益期望值

由于世界财富值有限,我们可以假定$\rho$是有界的,亦即

$\exists A$使得对于$\forall x>A$,满足$\rho(x)\equiv 0$

那么

$$\begin{align}\overline{\mathrm{E}[\Delta x]}&=\int_0^{2A} p(x)\mathrm{E}[\Delta x]dx\\ &=\int_0^{2A} \frac{x\rho(x)}{2}-\frac{x\rho(x/2)}{8}dx\\ &=\int_0^{2A} \frac{x\rho(x)}{2}-\int_0^A\frac{t\rho(t)}{2}dt,\quad t\stackrel{def}{=}x/2\\ &=0 \end{align}$$

所以无脑交换在合理假设下无平均收益。